19.补充数学2：动态规划-伏格尔法-博弈论-决策轮-排队论

一、动态规划 00:001. 例题:投资收益问题 00:031题目解析审题过程: 题目要求找出某公司投资甲、乙、丙三个项目的最大收益值投资额以百万元为单位总投资额为400万元。解题思路: 采用穷举法列出所有可能的投资方案及其对应的收益值然后找出收益值最大的方案。答案: 最大收益值为18百万元。注意: 穷举法适用于选择题简单且答案准确。投资方案只有25种甲、乙各5种投资额丙的投资额由总投资额减去甲、乙投资额得出并非想象中那么多。2. 例题:面包利润问题 03:391题目解析审题过程: 题目要求超市每天应进货多少面包以获得最大利润给出了面包的进价、销售价及未售完面包的处理价以及日销量的概率分布。解题思路: 采用穷举法列出不同进货量下各种日销量对应的利润然后计算平均利润找出平均利润最大的进货量。答案: 进货140个面包时平均收益最大。注意: 当天卖完的面包每个挣1元未卖完的面包每个亏1元。计算平均收益时需将各日销量下的利润乘以对应的概率20%后相加。二、伏格尔法 07:381. 例题:运输成本问题 08:051题目解析审题过程: 题目要求选择最优的运输方案使得三个煤场向三个工厂运煤的总运输成本最低。解题步骤:第一步: 计算每行每列最小运费和次小运费的差值。差值越大表明选择次小运费的代价越高。第二步: 选出差值最大的行或列然后在该行或列中选择最小的运费进行供给。重复过程: 更新剩余煤场和工厂的供需量划掉供需量为零的行或列重复上述两步直到所有煤场和工厂的供需量都为零。答案: 最优运输方案的总运输成本为83百万元。注意: 伏格尔法的本质是先考虑最小运费若因其他条件限制无法选择最小运费则考虑次小运费但选择次小运费的代价与最小运费的差值需尽可能小。三、博弈论 20:331. 例题网站博弈论问题 20:44基本概念博弈论研究两个及以上独立决策者≥2在只考虑自身利益时的策略选择参与者不会串通。支付矩阵解读双方高价各得1000万元利润单方降价降价方得1500万另一方得200万双方降价各得700万元利润理性分析过程对甲网站无论乙选择高价或低价降价始终能获得更高收益15001000且700200对乙网站同理可得相同结论纳什均衡双方独立理性选择导致低价低价的稳定策略组合现实启示解释了互联网企业价格战的必然性如滴滴快滴、美团点评合并前说明双输结局源于个体理性与集体理性的冲突反垄断必要性防止寡头通过合谋形成垄断高价2. 例题市场占有率变化 25:34转移矩阵定义P(0.80.20.40.6)P \left( \begin{array}{ll} 0.8 0.2 \\ 0.4 0.6 \end{array} \right)P(0.80.4​0.20.6​)其中p(A→B)p(A→B)p(A→B)表示A份额转给B的概率计算步骤初始状态[A B][0.5 0.5][A\ B][0.5\ 0.5][AB][0.50.5]首月计算A份额0.5×0.80.5×0.40.60.5×0.80.5×0.40.60.5×0.80.5×0.40.6B份额1−0.60.41-0.60.41−0.60.4次月计算A份额0.6×0.80.4×0.40.640.6×0.80.4×0.40.640.6×0.80.4×0.40.64B份额1−0.640.361-0.640.361−0.640.36结果分析两个月后A份额增加14%64%-50%B份额减少14%矩阵阅读技巧第一列元素归A保持转入第二列元素归B保持转入四、排队论 29:401. 例题博览会排队论问题 30:04变量设定A8点前排队人数Z每分钟新增人数Y单入口每分钟检票量方程建立8入口60分钟8×60×Y60×ZA8×60×Y60×ZA8×60×Y60×ZA10入口40分钟10×40×Y40×ZA10×40×Y40×ZA10×40×Y40×ZA关键推导解得Z4YZ4YZ4Y平衡需4个入口初始排队量A240YA240YA240Y20分钟方案需满足X×20×Y20×4Y240YX×20×Y20×4Y240YX×20×Y20×4Y240Y解得X16X16X16运营策略8:00开16个入口8:20后只需4个维持平衡解题要点类比水池进出水问题通过差值法消元求解实际应用需考虑成本最小化五、决策论 35:061. 按决策环境分类确定型决策: 决策环境是确定的结果也是确定的。风险决策: 决策环境是不确定的但结果发生的概率是一致的。不确定型决策: 决策环境不确定且结果也不确定完全凭主观意识来决定。2. 决策的六个要素决策者: 决策的人。可供选择的方案: 包括行动、策略等。衡量选择方案的准则: 目的、目标、正确性等。事件: 被决策的对象。每一事件的发生将会产生的某种结果。决策者的价值观: 主观因素。3. 决策准则悲观主义准则小中取大max(min): 先取每个方案最小的收益再取所有最小收益中最大的那个。乐观主义准则大中取大max(max): 先取每个方案最大的收益再取所有最大收益中最大的那个。折中主义准则: 设定折中系数a用每个方案的最大收益a最小收益(1-a选择每个方案中计算结果最大的那个。当a1时为乐观主义a0时为悲观主义。等可能性准则: 设定每个可能的结果的发生都是等可能的将不确定型的问题转换为风险决策问题。后悔值准则最小最大后悔值min(max): 在不同的环境中投资方案获得的最大收益-当前选择的收益后悔值将所有后悔值中每个方案的最大后悔值选出再从这些最大的后悔值中选择最小的。4. 例题:决策矩阵悲观主义选取 36:261题目解析审题过程: 给定一个决策矩阵包含积极、稳健、保守三种投资策略在不同经济趋势下的预计收益。解题思路: 按照悲观主义准则先取每个方案最小的收益积极50万稳健100万保守200万再取所有最小收益中最大的那个200万。答案: 选择保守方案。5. 例题:电子商务公司决策树问题 41:441题目解析审题过程: 电子商务公司需从A地向B地发送货物有水陆两条路线可选考虑运输成本和天气因素暴风雨概率1/4。解题思路: 画出决策树计算水陆和陆路在不同天气情况下的总成本。水路成本70000.75(7000900000.1)*0.25陆路成本10000。答案: 比较两种路线的成本选择成本较低的路线。六、数学建模 44:441. 数学建模过程 45:12模型准备: 了解问题的实际背景明确其实际意义掌握对象的各种信息用数学语言来描述问题。模型假设: 根据实际对象的特征和建模的目的对问题进行必要的简化并提出恰当的假设。模型建立: 在假设的基础上利用适当的数字工具来刻划各变量之间的数学关系建立相应的数学结构。模型求解: 利用获取的数据资料对模型的所有参数做出计算估计。模型分析: 对所得的结果进行数学上的分析。模型检验: 将模型分析结果与实际情形进行比较验证模型的准确性、合理性和适用性。模型应用: 应用方式因问题的性质和建模的目的而异。2. 数学建模方法直接分析法: 根据对问题直接的内在的认识直接构造出模型。类比法: 根据之前类似的模型构造出一个新的模型。数据分析法: 通过实验获得与问题相关的大量数据用统计分析的方法来进行建模。构想法: 对将来可能发生的情况给出逻辑上合理的方法和描述而后用现有的方法来建模并不断完善。七、知识小结知识点核心内容考试重点/易混淆点难度系数动态规划投资分配问题求解方法通过穷举法列举所有投资组合方案需掌握穷举法的完整计算过程注意投资额分配约束条件⭐⭐⭐⭐库存管理模型面包进货量决策考虑销售利润与滞销损失条件概率计算和期望利润最大化的平衡⭐⭐⭐⭐弗格尔运输法通过行列差值确定最优运输方案分步消除行列差值计算顺序和最小成本优先分配原则⭐⭐⭐⭐⭐博弈论囚徒困境模型独立决策导致非最优均衡双输局面的形成机制与纳什均衡概念⭐⭐⭐状态转移矩阵市场占有率预测通过矩阵乘法计算多期变化矩阵行列对应关系和概率守恒验证⭐⭐⭐排队论检票口设置优化建立流量平衡方程未知数设定技巧和动态平衡条件建立⭐⭐⭐⭐决策论方法悲观/乐观/后悔值等五种决策准则对比后悔值矩阵的构建与最小化原则⭐⭐⭐⭐决策树分析运输路线选择概率加权成本计算分支概率与条件成本的乘积求和⭐⭐⭐